DERIVADAS PARCIALES

 

la derivada parcial de una función de varias variables es la derivada con respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes.

• Para una función multivariable, como 
• $f(x, y) = x^2y$f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, calcular las derivadas parciales se ve algo como esto:

$\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\blueE{\partial x}} \blueE{x^2}y }_{\substack{ \text{Trata a }y\text{ como una constante;}\\\\ \text{toma la derivada.} }}\!\!\!\!\! = 2\blueE{x}y \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\redE{\partial y}} x^2\redE{y} }_{\substack{ \text{Trata a }x\text{ como una constante;}\\\\ \text{toma la derivada.} }}\!\!\!\!\! = x^2\cdot \redE{1} \end{aligned}$

Las derivadas parciales de primer orden respecto a la variable  suelen denotarse por

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f}$

Las derivadas parciales de segundo orden suelen denotarse por

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f}$

Las derivadas cruzadas de segundo orden por

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=f_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f}$

EJEMPLO