INTEGRACION TRIPLE

 

Una integral triple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de  tres de una variables reales.

Hay que mencionar también que la integral triple no sólo está limitada al cálculo de volúmenes, de hecho, justamente se utiliza para determinar una propiedad de algún volumen o sólido. Entre dichas propiedades tenemos: Cálculo de masa.

 

En la práctica una integral triple se calcula mediante tres integrales simples llamadas integrales iteradas.

Definición (Integrales iteradas). Si f es integrable en H=[a,b]×[c,d]×[e,j],

∫∫∫Hf(x,y,z)dV=∫ba∫dc∫jef(x,y,z)dzdydx

La expresión de la derecha representa el proceso que comienza integrando la función f respecto de z, tomando x e y como constantes, resultando una función de dos variables. La integración iterada de esa función, primero respecto de y luego respecto de da como resultado el valor de la integral triple. Este orden de integración es el expresado en la integral anterior, pero podríamos intercambiar las variables:

• El cálculo de una integral triple se reduce a calcular una integral simple y una doble. Una vez elegida la variable para la primera integración, la integral doble se extenderá al dominio contenido en el plano de las otras variables; podemos escribir
  ∫∫∫Hf(x,y,z)dV=∫∫[a,b]×[c,d][∫jef(x,y,z)dz]dA
  ∫∫∫Hf(x,y,z)dV=∫∫[a,b]×[e,j][∫dcf(x,y,z)dy]dA
  ∫∫∫Hf(x,y,z)dV=∫∫[c,d]×[e,j][∫baf(x,y,z)dx]dA
• b) Existen seis órdenes distintos de integración, pues cada una de las expresiones anteriores origina dos formas de resolver las correspondientes integrales dobles.

• Propiedades de la integral triple

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  • LINEALIDAD
    La integral triple es lineal:
    ∫∫∫H(af(x,y,z)+bg(x,y,z))dV=a∫∫∫Hf(x,y,z)dV+b∫∫∫Hg(x,y,z)dV
  • ADITIVIDAD DEL DOMINIO DE INTEGRACIÓN
    La integral triple es aditiva sobre cajas que tengan en común como mucho una porción de cara: si
    Volumen(H1∩H2)=0
    entonces
    ∫∫∫H1∪H2f(x,y,z)dV=∫∫∫H1f(x,y,z)dV+∫∫∫H2f(x,y,z)dV
  • ACOTACIÓN
    Si f(x,y,z)≤g(x,y,z) en casi todos los puntos (en casi todos los puntos significa en todos los puntos menos en un número finito) de H, entonces
    ∫∫∫Hf(x,y,z)dV≤∫∫∫Hg(x,y,z)dV
    En consecuencia, si f(x,y,z)≥0 en casi todos los puntos de H,
    ∫∫∫Hf(x,y,z)dV≥0
    y si f(x,y,z)≤0 en casi todos los puntos de H,
    ∫∫∫Hf(x,y,z)dV≤0
  • ACOTACIÓN MODULAR
  • Para cualquier f integrable en H,
  • 
    
  • 
    
  • 
    
  • ∣∣∣∫∫∫Hf(x,y,z)dV∣∣∣≤∫∫∫H|f(x,y,z)|dV

    
    
  • 
    

EJEMPLO